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Fractales de Forex: lo que necesitas saber

Es poco probable que encuentre al menos un recién llegado al mercado Forex que no sepa qué es un fractal. Y muchas personas han oído hablar de este concepto fuera del mercado. Los fractales se conocen desde hace casi un siglo, están bien estudiados y tienen numerosas aplicaciones en la vida. La base de este fenómeno es una idea muy simple: se puede obtener un número infinito de figuras en belleza y variedad a partir de estructuras relativamente simples con solo dos operaciones: copiar y escalar.

¿Qué es un fractal?

El concepto de "fractal" no tiene una definición estricta. Por lo tanto, esta palabra no es un término matemático. Esto generalmente se llama una figura geométrica que satisface una o más de las siguientes propiedades:

- tiene una estructura compleja en cualquier aumento;

- es (aproximadamente) auto-similar;

- tiene una dimensión fraccional de Hausdorff (fractal), que es mayor que la topológica;

- Se puede construir mediante procedimientos recursivos.

Historia de ocurrencia

A comienzos de los siglos XIX y XX, el estudio de los fractales fue más episódico que sistemático. Anteriormente, los matemáticos estudiaban principalmente objetos que podían estudiarse utilizando métodos y teorías generales.

En 1872, el matemático alemán Karl Weierstrass construyó un ejemplo de una función continua que no es diferenciable en ninguna parte. Sin embargo, su construcción fue completamente abstracta y difícil de percibir. Por lo tanto, en 1904, el sueco Helge von Koch inventó una curva continua que no tiene tangente en ninguna parte, y es bastante simple de dibujar. Resultó que tiene las propiedades de un fractal. Una variación de esta curva se llama copo de nieve de Koch.

Las ideas de auto-similitud fueron recogidas por el francés Paul Pierre Levy, el futuro mentor de Benoit Mandelbrot. En 1938, se publicó su artículo "Curvas y superficies planas y espaciales que consisten en partes similares a la totalidad", en el que se describe otro fractal: la curva C de Levy. Todos estos fractales enumerados anteriormente pueden asignarse condicionalmente a una clase de fractales constructivos (geométricos).

Otra clase son los fractales dinámicos o algebraicos, que incluyen el conjunto de Mandelbrot. Los primeros estudios en esta dirección se remontan a principios del siglo XX y están asociados con los nombres de los matemáticos franceses Gaston Julia y Pierre Fatou. En 1918, Julia publicó casi doscientas páginas de trabajo dedicadas a iteraciones de funciones racionales complejas, en las que se describen conjuntos de Julia, toda una familia de fractales estrechamente relacionados con el conjunto de Mandelbrot. Esta obra recibió el premio de la Academia Francesa, pero no contenía una sola ilustración, por lo que era imposible apreciar la belleza de los objetos abiertos. A pesar de que este trabajo glorificó a Julia entre los matemáticos de la época, rápidamente se olvidaron de ello.

Una vez más, la atención se centró en el trabajo de Julia y Fatou solo medio siglo después, con el advenimiento de las computadoras: fueron ellos quienes hicieron visible la riqueza y la belleza del mundo fractal. Después de todo, Fatou nunca podría mirar las imágenes que ahora conocemos como imágenes del conjunto de Mandelbrot, porque la cantidad necesaria de cálculos no puede llevarse a cabo manualmente. El primero en usar una computadora para esto fue Benoit Mandelbrot.

En 1982, se publicó el libro de Mandelbrot Fractal Geometry of Nature, en el que el autor recopiló y sistematizó prácticamente toda la información sobre fractales disponibles en ese momento y la resumió de una manera fácil y accesible. Mandelbrot hizo el énfasis principal en su presentación no en fórmulas pesadas y construcciones matemáticas, sino en la intuición geométrica de los lectores.

Gracias a las ilustraciones generadas por computadora y los cuentos históricos, con los cuales el autor diluyó hábilmente el componente científico de la monografía, el libro se convirtió en un éxito de ventas y el público en general conoció los fractales. Su éxito entre los no matemáticos se debe en gran parte al hecho de que con la ayuda de construcciones y fórmulas muy simples que un estudiante de secundaria puede entender, se obtienen imágenes que son increíbles en complejidad y belleza.

Cuando las computadoras personales se volvieron lo suficientemente poderosas, apareció toda una tendencia en el arte: la pintura fractal, y casi cualquier propietario de una computadora podía hacerlo. Ahora en Internet puede encontrar fácilmente muchos sitios dedicados a este tema.

Después de esta breve digresión en la historia, familiaricémonos ahora con la clasificación de los tipos fractales hoy.

Fractales geométricos

Es con ellos, como ya entendiste, que comenzó la historia de los fractales. Este tipo de fractal se obtiene mediante construcciones geométricas simples. Primero, se representa la base. Luego, algunas partes de la base se reemplazan con un fragmento. En cada etapa siguiente, partes de la figura ya construida, similares a las partes reemplazadas de la base, son reemplazadas nuevamente por un fragmento tomado en una escala adecuada. Cada vez que la escala disminuye. Cuando los cambios se vuelven visualmente imperceptibles, creen que la figura construida se aproxima bien al fractal y da una idea de su forma. Para obtener el fractal en sí, necesita un número infinito de etapas. Cambiar la base y el fragmento: puede obtener muchos fractales geométricos diferentes.

Los fractales geométricos son buenos porque, por un lado, son objeto de suficientes estudios científicos serios y, por otro lado, pueden verse. Incluso una persona que está lejos de las matemáticas encontrará en ellos algo para sí mismo. Tal combinación es rara en las matemáticas modernas, donde todos los objetos se definen usando palabras y símbolos oscuros.

Muchos fractales geométricos se pueden dibujar literalmente en una hoja de papel en una jaula. Es importante comprender que todas las imágenes obtenidas son solo aproximaciones finitas de infinitos, inherentemente fractales. Pero siempre puede dibujar una aproximación tal que el ojo no podrá distinguir entre detalles muy pequeños y nuestra imaginación podrá crear una verdadera imagen fractal.

Por ejemplo, con una hoja de papel cuadriculado lo suficientemente grande y un suministro de tiempo libre, puede dibujar manualmente una aproximación tan exacta a la alfombra Sierpinski que desde una distancia de varios metros el ojo desnudo lo percibirá como un fractal real. La computadora ahorrará tiempo y papel al tiempo que aumenta la precisión del dibujo.

Copo de nieve de Koch

Este es uno de los primeros fractales estudiados por los científicos. El copo de nieve se obtiene de tres copias de la curva de Koch, que apareció por primera vez en un artículo del matemático sueco Helge von Koch en 1904. Esta curva se inventó como un ejemplo de una línea continua, a la que es imposible dibujar una tangente en cualquier punto. Las líneas con esta propiedad se conocían antes, pero la curva de Koch es notable por la simplicidad de su diseño.

La curva de Koch es continua, pero en ninguna parte diferenciable. Hablando en términos generales, fue precisamente por esto que se inventó, como un ejemplo de tales "monstruos" matemáticos.

La curva de Koch tiene una longitud infinita. Deje que la longitud del segmento inicial sea 1. En cada paso de la construcción, reemplazamos cada uno de los componentes de la línea de segmentos con una polilínea que es 4/3 veces más larga. Esto significa que la longitud de la polilínea completa en cada paso se multiplica por 4/3: la longitud de la línea con el número n es (4/3) n-1. Por lo tanto, no queda nada de la línea límite, excepto cómo ser infinitamente largo.

El copo de nieve de Koch limita el área final. Y esto a pesar de que su perímetro es interminable. Esta propiedad puede parecer paradójica, pero es obvia: el copo de nieve se coloca completamente en un círculo, por lo tanto, su área es deliberadamente limitada. Puedes calcular el área, y ni siquiera necesitas un conocimiento especial para esto: las fórmulas del área del triángulo y la suma de la progresión geométrica se llevan a cabo en la escuela.

Copo de nieve de Koch "viceversa"

El copo de nieve de Koch "viceversa" se obtiene construyendo las curvas de Koch dentro del triángulo equilátero original.

Lineas de cesaro

En lugar de triángulos equiláteros, se utilizan triángulos isósceles con un ángulo en la base de 60 ° a 90 °. En la figura siguiente, el ángulo es de 88 °.

Opción cuadrada

Aquí se están completando los cuadrados.

Pirámide de Koch

T-cuadrado

La construcción comienza con una unidad cuadrada. Primer paso: pintar un cuadrado con 1/2 lado en el centro en blanco. Luego, debe dividir mentalmente el cuadrado en 4 idénticos y en el centro de cada uno de ellos llenar el cuadrado con 1/4 de lado. Además, cada uno de estos 4 cuadrados se divide nuevamente en 4 partes, se obtendrá un total de 16 cuadrados, y con cada uno de ellos debe hacer lo mismo. Y así sucesivamente.

La dimensión fractal está sombreada en blanco y es igual a log24 = 2. Está en todas partes densa en el cuadrado original. Esto significa que no importa qué punto del cuadrado tomemos, hay puntos sombreados en cualquiera de sus barrios arbitrariamente pequeños. Es decir, al final, casi todo se volvió blanco: el área del resto es 0 y el fractal ocupa un área de 1. Pero la longitud del borde de la parte rellena es infinita.

H fractal

Todo comienza con una figura en forma de letra H, en la cual los segmentos vertical y horizontal son iguales. Luego, a cada uno de los 4 extremos de la figura, una copia se reduce a la mitad. Una copia de la letra H se reduce a cada extremo (ya hay 16 de ellos), ya se redujo en 4 veces. Y así sucesivamente. En el límite, obtienes un fractal que visualmente casi llena un cierto cuadrado. H-fractal es denso en todas partes. Es decir, en cualquier vecindario de cualquier punto del cuadrado hay puntos fractales. Muy similar a lo que está sucediendo con el cuadrado en T. Esto no es accidental, porque si observa detenidamente, está claro que cada letra H está contenida en su propio cuadrado pequeño, que se completó en el mismo paso.

Podemos decir (y probar) que el H-fractal llena su cuadrado (curva de relleno de espacio en inglés). Por lo tanto, su dimensión fractal es 2. La longitud total de todos los segmentos es infinita.

El principio de construir un H-fractal se usa en la producción de microcircuitos electrónicos: si es necesario que en un circuito complejo una gran cantidad de elementos reciban la misma señal al mismo tiempo, entonces pueden ubicarse en los extremos de los segmentos de una iteración adecuada del H-fractal y conectarse en consecuencia.

Árbol Mandelbrot

El árbol de Mandelbrot se obtiene si dibuja letras gruesas H, que consisten en rectángulos, y no en segmentos:

Árbol de Pitágoras

Se llama así porque cada triple de cuadrados que se tocan en pares limita un triángulo rectángulo y obtenemos una imagen que a menudo se ilustra con el teorema de Pitágoras: "Los pantalones de Pitágoras son iguales en todas las direcciones".

Se ve claramente que todo el árbol es limitado. Si el cuadrado más grande es único, entonces el árbol encajará en un rectángulo de 6 × 4. Por lo tanto, su área no excede 24. Pero, por otro lado, se agregan el doble de triples de cuadrados cada vez que el anterior, y sus dimensiones lineales son √2 veces menos Por lo tanto, en cada paso, se agrega la misma área, que es igual al área de la configuración inicial, que es 2. ¡Parece que entonces el área del árbol debería ser infinita! Pero, de hecho, no hay contradicción aquí, porque rápidamente los cuadrados comienzan a superponerse y el área no crece tan rápido. Todavía es finito, pero aparentemente el significado exacto aún se desconoce, y este es un problema abierto.

Si cambia los ángulos en la base del triángulo, obtendrá una forma ligeramente diferente del árbol. Y en un ángulo de 60 °, los tres cuadrados serán iguales, y el árbol se convertirá en un patrón periódico en el plano:

Incluso puedes reemplazar cuadrados con rectángulos. Entonces el árbol será más como árboles reales. Y con algo de procesamiento artístico, se obtienen imágenes bastante realistas.

Curva de Peano

Por primera vez, dicho objeto apareció en un artículo del matemático italiano Giuseppe Peano en 1890. Peano trató de encontrar al menos una explicación vívida del hecho de que el segmento y el cuadrado son igualmente poderosos (si los consideramos como conjuntos de puntos), es decir, tienen el "mismo" número de puntos. Este teorema fue probado previamente por George Cantor en el marco de la teoría de conjuntos que él inventó. Sin embargo, tales resultados conflictivos de la intuición causaron un gran escepticismo en relación con la nueva teoría. El ejemplo de Peano - construir un mapeo continuo de un segmento de línea a un cuadrado - fue una buena confirmación de la corrección de Cantor.

Curiosamente, el artículo de Peano no tenía una sola ilustración. A veces, la expresión "curva de Peano" no se atribuye a un ejemplo específico, sino a cualquier curva que llene parte de un plano o espacio.

Curva de Hilbert

Esta curva (curva de Hilbert) fue descrita por David Hilbert en 1891. Solo podemos ver aproximaciones finitas al objeto matemático que se entiende: resultará en el límite solo después de un número infinito de operaciones.

Fractal "Cruz griega"

Otro ejemplo interesante es la cruz griega fractal.

Curva de Gosper

La curva de Gosper, o el copo de nieve de Gosper, es otra variación de las líneas curvas.

Curva de Levy

Aunque el objeto fue estudiado por el italiano Ernesto Cesaro en 1906, su auto-similitud y propiedades fractales fueron estudiadas en la década de 1930 por el francés Paul Pierre Levy. La dimensión fractal del límite de este fractal es aproximadamente igual a 1.9340. Pero este es un resultado matemático bastante complicado, y el valor exacto es desconocido.

Por su parecido con la letra "C", escrita en una fuente adornada, también se llama la curva C de Levy. Si observa de cerca, puede ver que la curva de Levy es similar a la forma de la corona del árbol de Pitágoras.

Cubo de Hilbert

Y también hay análogos tridimensionales de tales líneas. Por ejemplo, una curva de Hilbert tridimensional o un cubo de Hilbert.

Una versión elegante de metal de la curva tridimensional de Hilbert (tercera iteración), creada por Carlo Secin, profesor de ciencias de la computación en la Universidad de California, Berkeley.

Triángulo Sierpinski

Este fractal fue descrito en 1915 por el matemático polaco Vaclav Sierpinski. Para obtenerlo, debes tomar un triángulo equilátero con el interior, dibujar las líneas intermedias y tirar el centro de los cuatro triángulos pequeños formados. Además, estos mismos pasos deben repetirse con cada uno de los tres triángulos restantes, etc. La figura muestra los primeros tres pasos, y en una demostración instantánea, puede practicar y subir los pasos hasta el décimo.

Expulsar los triángulos centrales no es la única forma de obtener el triángulo de Sierpinski como resultado. Puede moverse "en la dirección opuesta": tome el triángulo inicialmente "vacío", luego complete el triángulo formado por las líneas intermedias, luego haga lo mismo en cada uno de los tres triángulos de esquina, etc. Al principio, las cifras serán muy diferentes, pero con el crecimiento del número de iteración, se parecerán cada vez más, y en el límite coincidirán.

La siguiente forma de obtener el triángulo de Sierpinski es aún más similar al esquema habitual de construir fractales geométricos reemplazando partes de la siguiente iteración con un fragmento escalado. Aquí, en cada paso, los segmentos que forman la línea discontinua se reemplazan por una línea discontinua de tres enlaces (se obtiene en la primera iteración). Para posponer esta línea discontinua es necesario alternativamente a la derecha, luego a la izquierda. Se puede ver que la octava iteración está muy cerca del fractal, y cuanto más avance, más se acercará la línea.

Alfombra (cuadrada, servilleta) Sierpinski

El respetado matemático no se detuvo en los triángulos y en 1916 describió una versión cuadrada. Se las arregló para demostrar que cualquier curva que pueda dibujarse en un plano sin auto intersecciones es homeomorfa a algún subconjunto de este cuadrado holey. Al igual que un triángulo, se puede obtener un cuadrado de diferentes diseños. El método clásico se muestra a la derecha: dividiendo el cuadrado en 9 partes y tirando la parte central. Luego se repite lo mismo para los 8 cuadrados restantes, etc.

Como un triángulo, un cuadrado tiene área cero.La dimensión fractal de la alfombra Sierpinski es log38; se calcula de manera similar a la dimensión de un triángulo.

Pirámide de Sierpinski

Uno de los análogos tridimensionales del triángulo de Sierpinski. Se construye de la misma manera, teniendo en cuenta la tridimensionalidad de lo que está sucediendo: 5 copias de la pirámide inicial, comprimidas dos veces, forman la primera iteración, sus 5 copias conforman la segunda iteración y así sucesivamente. La dimensión fractal es log25. La figura tiene un volumen cero (en cada paso, se expulsa la mitad del volumen), pero el área de superficie se conserva de iteración en iteración, y el fractal es el mismo que la pirámide inicial.

Esponja Menger

Generalización de la alfombra Sierpinski en espacio tridimensional. Para construir una esponja, necesita una repetición interminable del procedimiento: cada uno de los cubos que componen la iteración se divide en 27 cubos tres veces más pequeños, desde los cuales se arrojan la central y sus 6 vecinos. Es decir, cada cubo genera 20 nuevos, tres veces más pequeños. Por lo tanto, la dimensión fractal es log320. Este fractal es una curva universal: cualquier curva en el espacio tridimensional es homeomorfa a algún subconjunto de la esponja. La esponja tiene un volumen cero (ya que en cada paso se multiplica por 20/27), pero hay un área infinitamente grande.

Todavía hay muchos fractales geométricos, y la superficie de esta página, desafortunadamente, no es infinita. Por lo tanto, pasemos al siguiente tipo de fractales: algebraico.

Fractales dinámicos (algebraicos)

Los fractales de este tipo surgen en el estudio de los sistemas dinámicos no lineales (de ahí el nombre). El comportamiento de dicho sistema puede describirse mediante una función no lineal compleja (polinomio) f (z).

Los conjuntos de julia

Tome un punto de partida z0 en el plano complejo. Ahora consideramos una secuencia infinita de números en el plano complejo, cada uno de los cuales se obtiene del anterior: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1), ... zn + 1 = f (zn). Dependiendo del punto de inicio z0, dicha secuencia puede comportarse de manera diferente: tender al infinito como n → ∞; converger a algún punto final; tomar una serie de valores fijos cíclicamente; Son posibles opciones más complejas.

Por lo tanto, cualquier punto z del plano complejo tiene su propio carácter de comportamiento durante las iteraciones de la función f (z), y todo el plano se divide en partes. Además, los puntos que se encuentran en los límites de estas partes tienen la siguiente propiedad: en un desplazamiento arbitrariamente pequeño, la naturaleza de su comportamiento cambia dramáticamente (tales puntos se llaman puntos de bifurcación). Entonces, resulta que los conjuntos de puntos que tienen un tipo particular de comportamiento, así como los conjuntos de puntos de bifurcación a menudo tienen propiedades fractales. Estos son los conjuntos de Julia para la función f (z).

Conjunto Mandelbrot

Está construido un poco diferente. Considere la función fc (z) = z2 + c, donde c es un número complejo. Construimos una secuencia de esta función con z0 = 0, dependiendo del parámetro c, puede divergir hasta el infinito o permanecer acotada. Además, todos los valores de c para los que esta secuencia está limitada forman precisamente el conjunto de Mandelbrot. Fue estudiado en detalle por el propio Mandelbrot y otros matemáticos, quienes descubrieron muchas propiedades interesantes de este conjunto.

Se puede ver que las definiciones de los conjuntos de Julia y Mandelbrot son similares entre sí. De hecho, estos dos conjuntos están estrechamente relacionados. A saber, el conjunto de Mandelbrot son todos los valores del parámetro complejo c para el que está conectado el conjunto de Julia fc (z) (el conjunto se llama conectado si no puede dividirse en dos partes disjuntas, con algunas condiciones adicionales).

Halley Fractal

Tales fractales se obtienen si la fórmula de Halley se usa como regla para construir un fractal dinámico para buscar valores aproximados de las raíces de una función. La fórmula es bastante engorrosa, por lo que cualquiera que quiera puede verla en Wikipedia. La idea del método es casi la misma que la utilizada para dibujar fractales dinámicos: tomamos un valor inicial (como de costumbre, estamos hablando de valores complejos de variables y funciones) y le aplicamos la fórmula muchas veces, obteniendo una secuencia de números. Casi siempre, converge a uno de los ceros de la función (es decir, el valor de la variable en la que la función toma el valor 0). El método Halley, a pesar de lo engorroso de la fórmula, funciona más eficientemente que el método Newton: la secuencia converge a cero más rápido.

Fractal de Newton

Otro tipo de fractales dinámicos son los fractales de Newton (los llamados grupos). Las fórmulas para su construcción se basan en el método de resolución de ecuaciones no lineales, que fue inventado por el gran matemático en el siglo XVII. Usando la fórmula general del método de Newton zn + 1 = zn - f (zn) / f '(zn), n = 0, 1, 2, ... para resolver la ecuación f (z) = 0 al polinomio zk - a, obtenemos una secuencia de puntos: zn + 1 = ((k - 1) znk - a) / kznk-1, n = 0, 1, 2, .... Al elegir varios números complejos z0 como aproximaciones iniciales, obtenemos secuencias que convergen a las raíces de este polinomio. Como tiene exactamente k raíces, todo el plano se divide en k partes, áreas de atracción de las raíces. Los límites de estas partes tienen una estructura fractal (observe entre paréntesis que si sustituimos k = 2 en la última fórmula y tomamos z0 = a como la aproximación inicial, obtenemos una fórmula que realmente se usa para calcular la raíz cuadrada de a en las computadoras). Nuestro fractal se obtiene del polinomio f (z) = z3 - 1.

El uso de fractales en la industria y la vida cotidiana.

Los científicos son personalidades muy apasionadas. No les des de comer pan, fantaseemos con temas abstractos. Pero somos personas prácticas y, habiendo leído todo lo que está escrito anteriormente, muchos probablemente ya tengan una pregunta razonable: "¿y qué?". Entonces, ¿qué aportó este conocimiento al mundo?

En primer lugar, los fractales se usan en sistemas informáticos, y muy densamente. El uso más útil de los fractales en informática es la compresión de datos fractales. Este tipo de compresión se basa en el hecho de que el mundo real está bien descrito por la geometría fractal. Al mismo tiempo, las imágenes se comprimen mucho mejor que con los métodos convencionales (como jpeg o gif). Otra ventaja de la compresión fractal es que cuando la imagen se amplía, no hay efecto de pixelación (aumentando el tamaño de los puntos a tamaños que distorsionan la imagen). Con la compresión fractal, después de agrandar, la imagen a menudo se ve aún mejor que antes.

En segundo lugar, es la mecánica de los líquidos y, como consecuencia, la industria petrolera. El hecho es que el estudio de la turbulencia en los flujos se ajusta muy bien a los fractales. Los flujos turbulentos son caóticos y, por lo tanto, difíciles de modelar con precisión. Y aquí ayuda la transición a su representación fractal, lo que facilita enormemente el trabajo de ingenieros y físicos, permitiéndoles comprender mejor la dinámica de los flujos complejos. Usando fractales, también puedes simular las lenguas de fuego. Los materiales porosos están bien representados en forma fractal debido al hecho de que tienen una geometría muy compleja. Se utiliza en ciencias del petróleo.

En tercer lugarAl llegar a casa de la fábrica por la noche, recostado en su sofá de combate favorito, enciende el televisor, que también está relacionado con los fractales. El hecho es que las antenas que tienen formas fractales se utilizan para transmitir datos a través de distancias, lo que reduce en gran medida su tamaño y peso.

El uso de geometría fractal en el diseño de dispositivos de antena fue aplicado por primera vez por un ingeniero estadounidense Nathan Cohen, quien luego vivía en el centro de Boston, donde estaba prohibida la instalación de antenas externas en edificios. Cohen cortó una forma de curva de Koch de papel de aluminio y luego la pegó en un trozo de papel y luego la unió al receptor. Resultó que tal antena no funciona peor de lo habitual. Aunque los principios físicos de tal antena aún no se han estudiado, esto no impidió que Cohen estableciera su propia compañía y organizara su producción en serie. Actualmente, la empresa estadounidense Fractal Antenna System ha desarrollado un nuevo tipo de antena. Ahora puede negarse a usar antenas externas sobresalientes en los teléfonos móviles: la llamada antena fractal se encuentra directamente en la placa principal dentro del dispositivo.

Además, los fractales se usan para describir la curvatura de las superficies. Una superficie rugosa se caracteriza por una combinación de dos fractales diferentes. También se utilizan en el desarrollo de interacciones de biosensores, estudios de latidos cardíacos, modelado de procesos caóticos, en particular al describir modelos de población animal, etc.

Estructura del mercado fractal

Toda esta oda a los fractales sería en vano si no fuera por la naturaleza fractal de los mercados financieros. Sí, finalmente llegamos a la discusión del tema para el que escribí este artículo.

Entonces, en la actualidad, hay muchas formas de analizar los mercados financieros, sobre la base de qué comerciantes crean sus estrategias de negociación. Entre las diversas herramientas de análisis y pronóstico, el análisis fractal está al margen. Esta es una teoría separada, versátil e interesante para la discusión y el estudio. La primera impresión habla de la simplicidad del tema, pero si profundizas más, verás muchos matices ocultos.

Comprender los fractales es la clave para ver información oculta del mercado. Pero es ella quien es uno de los factores clave del éxito en el mercado del especulador y la clave para una gran ganancia estable.

El 14 de octubre de 2010, Benoit Mandelbrot falleció, un hombre que de muchas maneras cambió nuestra comprensión de los objetos que nos rodean y enriqueció nuestro lenguaje con la palabra "fractal".

Como ya sabes, es gracias a Mandelbrot que sabemos que los fractales nos rodean en todas partes. Algunos de ellos cambian constantemente, como nubes o llamas en movimiento, mientras que otros, como las costas, los árboles o nuestros sistemas vasculares, preservan la estructura adquirida en el proceso de evolución. Además, el rango real de escalas donde se observan fractales se extiende desde las distancias entre las moléculas en los polímeros hasta la distancia entre los cúmulos de galaxias en el Universo. La colección más rica de estos objetos se recoge en el famoso libro de Mandelbrot "Geometría fractal de la naturaleza".

La clase más importante de fractales naturales son series temporales caóticas u observaciones ordenadas en el tiempo de las características de diversos procesos naturales, sociales y tecnológicos. Entre ellos hay tanto tradicionales (geofísicos, económicos, médicos) como aquellos que se han conocido relativamente recientemente (fluctuaciones diarias en el nivel de delincuencia o accidentes de tráfico en la región, cambios en el número de visitas de ciertos sitios en Internet, etc.). Estas series generalmente son generadas por complejos sistemas no lineales que tienen una naturaleza muy diferente. Sin embargo, para todos, el patrón de comportamiento se repite a diferentes escalas. Sus representantes más populares son series de tiempo financieras (principalmente precios de acciones y tipos de cambio).

La estructura auto-similar de tales series se conoce desde hace mucho tiempo. En uno de sus artículos, Mandelbrot escribió que su interés en las cotizaciones bursátiles comenzó con la declaración de una de las bolsas de valores: "... Los movimientos de los precios de la mayoría de los instrumentos financieros son externamente similares a diferentes escalas de tiempo y precio. El observador no puede ver por la apariencia del gráfico, los datos se refieren cambios semanales, diarios u horarios ".

Mandelbrot, que ocupa un lugar muy especial en la ciencia financiera, tuvo la gloria de un "subvertidor de las fundaciones", causando entre los economistas una actitud claramente ambigua hacia sí mismo. Desde el advenimiento de la teoría financiera moderna basada en el concepto de equilibrio general, fue uno de sus principales críticos e intentó encontrar una alternativa aceptable hasta el final de su vida. Sin embargo, fue Mandelbrot quien desarrolló el sistema de conceptos, que, con las modificaciones apropiadas, resultó no solo construir un pronóstico efectivo, sino también ofrecer, aparentemente, la única justificación empírica de la teoría clásica de las finanzas en este momento.

La característica principal de las estructuras fractales es la dimensión fractal D, introducida por Felix Hausdorff en 1919. Para las series temporales, a menudo se usa el índice H de Hurst, que se asocia con una dimensión fractal por la relación D = 2 - H y es un indicador de persistencia (la capacidad de mantener una cierta tendencia) de una serie temporal.

Por lo general, existen tres regímenes fundamentalmente diferentes que pueden existir en el mercado: a H = 0.5, el comportamiento del precio se describe mediante un modelo de caminata aleatoria; cuando H> 0.5, los precios están en tendencia (movimiento direccional hacia arriba o hacia abajo); a H ​​<0.5, los precios están en un estado plano o fluctuaciones frecuentes en un rango de precios bastante estrecho. Sin embargo, el cálculo confiable de H (así como D) requiere demasiados datos, lo que excluye la posibilidad de utilizar estas características como indicadores que determinan la dinámica local de las series de tiempo.

Como saben, el modelo básico de series de tiempo financieras es el modelo de caminata aleatoria, obtenido por primera vez por Luis Bachelier para describir la observación de los precios de las acciones en la Bolsa de París. Como resultado del replanteamiento de este modelo, que a veces se observa en el comportamiento de los precios, surgió el concepto de un mercado efectivo en el que el precio refleja completamente toda la información disponible.

Para la existencia de dicho mercado, es suficiente suponer que tiene una gran cantidad de agentes racionales plenamente informados que responden instantáneamente a la información entrante y ajustan los precios, llevándolos al equilibrio. Todos los resultados principales de la teoría clásica de las finanzas (teoría de cartera, modelo CAPM, modelo Black-Scholes y otros) se obtuvieron en el marco de tal enfoque. Actualmente, el concepto de un mercado efectivo continúa desempeñando un papel dominante tanto en la teoría financiera como en los negocios financieros.

Sin embargo, a principios de los años 60 del siglo pasado, los estudios empíricos mostraron que los cambios fuertes en los precios del mercado ocurren con mucha más frecuencia que el modelo básico de un mercado efectivo predicho (el modelo de paseo aleatorio). Mandelbrot fue uno de los primeros en someter el concepto de un mercado efectivo a críticas exhaustivas.

De hecho, si es correcto calcular el valor del indicador H para cualquier stock, lo más probable es que sea diferente de H = 0.5, que corresponde al modelo de caminata aleatoria. Mandelbrot encontró todas las generalizaciones posibles de este modelo, que pueden estar relacionadas con el comportamiento del precio real. Al final resultó que, estos son, por un lado, los procesos que él llamó el vuelo de Levy, y por el otro, los procesos que llamó el movimiento browniano generalizado.

Para describir el comportamiento de los precios, generalmente se utiliza el concepto de un mercado fractal, que generalmente se considera como una alternativa a un mercado efectivo. El concepto supone que el mercado tiene una amplia gama de agentes con diferentes horizontes de inversión y, por lo tanto, diferentes preferencias. Estos horizontes varían desde unos pocos minutos para los operadores intradía a varios años para grandes bancos y fondos de inversión.

Una posición estable en dicho mercado es un régimen en el que "la rentabilidad promedio no depende de la escala, excepto por la multiplicación por el factor de escala correspondiente". De hecho, estamos hablando de toda una clase de modos, cada uno de los cuales está determinado por su valor del indicador H. Además, el valor de H = 0.5 resulta ser uno de los muchos posibles y, por lo tanto, igual a cualquier otro valor. Estas y otras consideraciones cercanas dieron lugar a serias dudas sobre la existencia de un equilibrio real en el mercado de valores.

Mira los gráficos de precios a continuación:

Se puede ver que el precio hace fluctuaciones constantes, formando así una estructura de naturaleza repetitiva.Es visible en todos los mercados, independientemente de la escala de tiempo.

La imagen muestra gráficos: BRN M30, BTCUSD H1, DAX30 D1, EURSGD M5, USDCHF H1, XAUUSD M15. Sin firmas y explicaciones, casi nadie puede distinguirlos unos de otros.

Estos gráficos no son exactamente iguales, pero comparten algunos patrones comunes. En un período de tiempo determinado, el precio se mueve en una dirección, luego cambia su dirección a la opuesta y restaura parcialmente el movimiento anterior, luego se invierte nuevamente. No importa qué período de tiempo se use para los gráficos: todos se ven casi iguales (fluctuaciones constantes), al igual que los fractales.

Las fluctuaciones forman olas del mercado. ¿Qué es una ola? Este es un impulso y una corrección (movimiento-inversión-movimiento en la dirección opuesta, restaurando parcialmente el anterior). Tales movimientos forman olas.

La imagen muestra estos movimientos que forman las olas. Varias de estas ondas forman una onda grande de forma similar (corrección de impulsos). Varias olas pequeñas forman una ola de tamaño mediano.

Las olas medianas forman una ola grande. Esta es la esencia de la teoría fractal en los mercados financieros.

Una serie de tales olas forman movimientos direccionales en el mercado: tendencias. Tales tendencias, a su vez, forman movimientos direccionales de un orden temporal más antiguo. Como en el caso de las olas, pequeños movimientos forman una media, etc. Esto distingue entre tendencias a corto plazo, a mediano y largo plazo. Esta es una comprensión clásica de la naturaleza fractal del mercado.

Fractales Bill Williams

Como dije, los fractales de mercado son uno de los indicadores en el sistema comercial de Bill Williams. Se cree que fue él quien introdujo este nombre por primera vez en el comercio, pero, como saben, no es así. Al operar con fractales, en combinación con su indicador Alligator, el autor encontró máximos o mínimos locales del mercado. También escribió que determinar la estructura fractal del mercado le permite encontrar una manera de comprender el comportamiento de los precios.

En general, la teoría de los fractales de Williams provocó un acalorado debate, principalmente porque el autor, como muchos creen, insertó una gran cantidad de terminología científica (fractal, atractor, etc.) en su teoría y no lo hizo del todo correctamente.

En general, los fractales Williams aparecen en el mercado con bastante frecuencia y en casi todos los plazos y, de hecho, son extremos locales simples en un segmento de 5 barras y prácticamente no se corresponden con la teoría matemática de los fractales. Los puntos TD de segundo orden de Thomas Demark son exactamente la misma formación en el gráfico. Sin embargo, a pesar de todas estas coincidencias, esta teoría es muy popular hasta el día de hoy.

El análisis técnico de Williams examina 4 formaciones fractales existentes:

  • verdadero fractal para comprar;
  • falso fractal para comprar;
  • verdadero fractal para vender;
  • falso fractal en venta.

Hablaremos sobre fractales verdaderos y falsos y cómo distinguirlos a continuación.

Indicador de fractales en el terminal comercial de MetaTrader

Los indicadores de Bill Williams no requieren instalación y se incluyen en el conjunto estándar de indicadores disponibles para el comerciante. Para adjuntar el indicador fractal en el terminal MetaTrader 4 al gráfico, debe: en el menú principal (o en la ventana "Navegador") seleccionar el elemento del menú "Insertar" - "Indicadores" - "Bill Williams" - "Fractales":

El indicador estándar para MT4 no tiene otra configuración que el color. Su uso con un período fijo de "5" niega todas las posibilidades y ventajas de esta herramienta. Pero para la plataforma MetaTrader, hay muchos indicadores personalizados que ayudarán a resolver este problema.

El problema de la falsedad y la verdad de los fractales.

Durante el comercio con fractales, hay un matiz importante: la aparición en el gráfico de una gran cantidad de señales, algunas de las cuales son falsas. Para filtrarlos, Bill Williams desarrolló otro indicador llamado "Alligator", que también se puede encontrar en el conjunto estándar de indicadores en MT4.

El problema de los fractales falsos es la principal fuente de errores, similar a las estimaciones de la verdad del colapso del soporte / resistencia. Independientemente de la metodología específica, el principio general para determinar la confiabilidad es el siguiente: cualquier desviación del aspecto clásico debe estar en duda. Como en todo el análisis técnico, una disminución en el marco de tiempo conduce a un aumento de señales falsas y desordenan el gráfico. En la figura a continuación se muestran ejemplos de fractales inestables.

Al practicar patrones grandes, es mejor abrir posiciones en los momentos de corrección del último impulso de precio, que están en el lado izquierdo de la formación. Dentro del patrón, las correcciones estándar de Fibonacci funcionan de manera confiable al 38% (0.382), 50% (0.500) y 62% (0.618). Si "estira" los niveles a través de señales indicadoras vecinas, puede abrir a través de órdenes de límite cerca de los niveles clave.

De la misma manera, puede proteger la transacción del desglose inverso impredecible moviendo gradualmente el stoploss para controlar el máximo o mínimo opuesto de las últimas y penúltimas velas. Cuando la estructura se está formando, la parada debe estar al menos 5-10 puntos por encima o por debajo de la última señal que dio el indicador Fractal. Luego, con retrocesos menores, permanecemos en el mercado, y si hay un cambio completo de tendencia, la transacción se cierra con una pérdida mínima.

Hay otra forma de determinar que tenemos fractales falsos, cuando son perforados por una barra con una sombra larga y un cuerpo pequeño (barra de alfiler). Cuanto más larga sea su "nariz", más fuerte será la señal de inversión, lo que significa que el mercado no pudo cambiar el nivel del último patrón la primera vez. Si la ruptura ha tenido lugar, y la próxima vela está cerrada por encima de Alta (en venta) o por debajo de Baja (para compra) de la nariz, entonces con una alta probabilidad puede omitir la señal y esperar la siguiente. Una situación similar puede ocurrir en 3-5 barras, pero solo prestamos atención a la barra que ha roto el indicador de Fractales.

El uso práctico de los fractales.

Bill Williams aconsejó el uso de fractales en estrategias que se basan en el desglose de niveles de precios importantes. El movimiento del precio por encima o por debajo de al menos un punto desde el nivel del fractal anterior, según el autor de este indicador, ya habla de romper este nivel por el precio.

Romper el nivel del fractal anterior se llama un avance de los compradores en caso de que el precio suba por encima del fractal anterior, dirigido hacia arriba. En el caso opuesto, cuando el precio cae por debajo del fractal anterior, dirigido hacia abajo, hablan de un avance de los vendedores. Bill Williams aconsejó considerar el avance de compradores o vendedores como una señal para abrir una posición.

Por lo general, los operadores colocan órdenes de Stop pendientes varios puntos por encima o por debajo del fractal para abrir una posición en caso de romper este nivel. En tales casos, el stop loss generalmente se establece al nivel del penúltimo fractal opuesto.

En una interpretación clásica, Bill Williams aconseja filtrar las señales comerciales generadas por fractales utilizando el indicador Alligator. Por lo tanto, para abrir una posición de compra, es necesario que se encuentre un fractal por encima de la línea roja (los llamados "dientes de cocodrilo"). El autor de la estrategia recomendó ingresar al mercado inmediatamente después de romper el fractal o usar una orden BuyStop pendiente. La entrada al mercado para la venta ocurre en caso de romper un fractal debajo de la línea roja.

Puede leer más sobre esta estrategia en el artículo sobre Profitunity del sistema Bill Williams. Y analizaremos las principales formas prácticas de usar fractales en forma aislada de este vehículo.

Comercio Fractal Breakout

Este método es clásico, propuesto por Bill Williams. Como su nombre lo indica, el comercio es desglosado por naturaleza y está diseñado para continuar con la tendencia actual. La entrada a la transacción se lleva a cabo mediante una orden de detención pendiente para el desglose del fractal más cercano al precio. Un ejemplo que puedes ver en la imagen de arriba.

Según el propio autor, esta metodología de negociación dará muchas entradas falsas, por lo que Bill sugiere filtrar las señales con el indicador Alligator. En principio, el indicador Alligator se puede reemplazar con promedios móviles comunes y también se puede usar como filtro. Pero repito que no tiene sentido considerar los fractales y el cocodrilo por separado de otras herramientas de Williams, por lo que no nos detendremos en esto y seguiremos adelante.

Fractales como niveles de soporte / resistencia

Si ha encontrado niveles de soporte / resistencia al menos una vez, entonces sabe lo difícil que es construirlos, especialmente si es un principiante. Y toda esta complejidad surge de la subjetividad de esta herramienta. Cuando construimos niveles, no podemos decir con certeza si los construimos correctamente o no. Bill Williams con sus fractales nos brinda una gran herramienta para encontrar y construir niveles significativos de apoyo y resistencia.

Pongamos un indicador en un gráfico y analicémoslo en términos de niveles.

Este es un gráfico USDCHF D1 con un fractal clásico. Sí, el horario simplemente está repleto de estas flechas. Si se dibuja una línea horizontal a través de cada extremo resaltado por el indicador, el gráfico en sí no será visible detrás de estas líneas.

Aumentemos el número de períodos y veamos el resultado:

Como puede ver, el gráfico se ha vuelto mejor y quedan extremos realmente significativos, a través de los cuales se pueden dibujar niveles bastante adecuados para el comercio. Preste atención a cómo el precio "respeta" y cumple estos niveles. Estoy seguro de que en el futuro, cuando el precio se acerque a ellos, nuevamente veremos una reacción a ellos.

Fractales y líneas de tendencia.

Otro método bastante bueno para aplicar el indicador de fractales es definir puntos de referencia para trazar líneas de tendencia:

Lancé el indicador en el gráfico, aumentando el número de barras en la configuración. Luego dibujó varias líneas de tendencia a través de algunos fractales. De hecho, las líneas resultaron ser bastante interesantes, y el precio interactúa con ellas. Naturalmente, el comerciante debe tener conocimientos básicos en el campo del análisis técnico y la construcción de líneas de tendencia. Pero estoy seguro de que este indicador será una buena ayuda en la práctica para un especulador de divisas principiante.

Determinar una tendencia usando un indicador

Usando fractales, también podemos determinar la tendencia dominante en el mercado. Es muy facil de hacer. Si recordamos la definición de una tendencia, que establece que una tendencia alcista es una secuencia de altos y bajos locales crecientes, y una tendencia a la baja es una secuencia de extremos decrecientes. Echemos nuestro indicador en el gráfico y veamos que en una tendencia alcista, comprar fractales se actualizará (romperá) con más frecuencia que vender fractales.

Definición de movimiento plano

Si el precio no puede superar el fractal anterior, esto puede servir como una señal para el inicio de un movimiento plano. Para confirmar la señal, es necesario esperar la formación del fractal opuesto.

Si tampoco pudo romper el fractal anterior, entonces deberíamos esperar un plano en el rango entre los fractales superior e inferior, que terminará después de romper al precio de uno de estos niveles.

Conclusión

El indicador Fractal y sus modificaciones se basan en la tabla de muchos puntos de entrada potenciales para cada gusto, la mayoría de ellos parecen bastante confiables. De hecho, esta técnica de análisis no es tan simple e inequívoca. No se recomienda a los principiantes usarlo como el único factor para tomar una decisión.

Los fractales no pueden usarse para predecir precios. Incluso Williams los consideró, al menos, solo el tercer factor de confirmación. Tenga en cuenta que el indicador Fractal estándar, que forma parte del conjunto básico de plataformas de negociación, no tiene parámetros, por lo tanto, elija modificaciones donde cambie el número de barras de liquidación. Por lo tanto, puede sintonizar con mayor precisión un activo específico.

El uso tendrá un resultado positivo solo en combinación con otros indicadores a intervalos de una hora o más. Las estrategias que incluyen el indicador de Fractales definitivamente deben analizar varios marcos temporales. Sin embargo, no descarte este indicador.

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