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El riesgo de ruina o cómo no fusionarse, intercambiando monos

Probablemente ya haya escuchado mucho sobre martingala, cuadrículas y otras formas espectaculares de fusionar su depósito. De hecho, estos son sistemas que, incluso puramente teóricos, no le permitirán ganar constantemente. Sin embargo, hay muchos comerciantes, incluidos los experimentados, que utilizan cuadrículas en sus cuentas. ¿Crees que no conocen la teoría? Por supuesto que lo saben, solo hay un pequeño secreto. Y hablaremos de él hoy.

El hecho es que la mayoría de los traders privados tienen cuentas bastante modestas y muy a menudo eligen métodos bastante agresivos de administración de dinero. Las cuadrículas y los martingales realmente a menudo conducen a pérdidas de todo el depósito, pero a los operadores experimentados siempre se les aconseja retirar periódicamente parte de las ganancias. Y, por lo tanto, obtenemos ganancias más o menos estables en sistemas de negociación aparentemente incluso teóricamente fusionados. Y hoy descubriremos por qué sucede esto desde un punto de vista matemático y aprenderemos cómo aprovechar al máximo este "milagro".

¿Cuál es la probabilidad de ruina?

Esta "manera maravillosa" de ganar dinero con estrategias de fusión se puede usar completamente con un enfoque científico, es suficiente para familiarizarse con un concepto como la probabilidad de ruina.

Conociendo la probabilidad de ruina para un sistema comercial particular con el método elegido de administración de dinero, puede decir con mayor o menor precisión si el comerciante se fusionará o no. Muchos comerciantes, especialmente los principiantes, siempre tienen prisa en alguna parte, como si los mercados cerraran pronto y no tuvieran tiempo de vender sus millones para una vida cómoda. Como resultado, las probabilidades de su ruina están por las nubes y, como resultado, la siguiente cuenta fusionada.

Probabilidad de ruina, o probabilidad de ruinaabreviado Por, es la probabilidad estadística de que el sistema de comercio arruine la cuenta antes de alcanzar el nivel en dólares, que se considera exitoso. La ruina está determinada por el nivel de la cuenta cuando los operadores dejan de operar. POR ilustra a los comerciantes la posibilidad estadística de que sus sistemas de negociación se muevan hacia el éxito o la bancarrota.

Algunos autores creen que el interés en la probabilidad de ruina es inapropiado, ya que no les da a los comerciantes una idea de cómo obtener ganancias. En este sentido, tienen razón. Además, la probabilidad de ruina tiende a ser pequeña en los sistemas comerciales de dinero real. Sin embargo, si todos los demás aspectos son de igual importancia, entonces, al elegir entre dos sistemas de negociación, es probable que elija el que tenga la menor probabilidad de ruina.

La mayoría de las veces, los sistemas de ingresos a largo plazo tienen un bajo riesgo de ruina. Raramente cuando alcanza la marca del 5%. Como regla general, estos son sistemas comerciales que tienen capital suficiente y generan ganancias para el comerciante. Los principiantes a menudo pueden encontrar POR en la región del 70-100%, lo que significa que la cuenta se fusionará, incluso si le dicen que finalmente encontraron un sistema de comercio granular. El valor de POR no es constante y para los operadores normales, la mayor parte del tiempo se mantiene en el rango de 0 a 5%. Pero si ve que este indicador ha aumentado, lo más probable es que haya comenzado a correr demasiado riesgo. En este caso, es suficiente simplemente reducir los riesgos en cada transacción, y luego la probabilidad de ruina volverá a un nivel aceptable.

A continuación puede ver los riesgos de ruina al usar paradas difíciles. Para el cálculo, se tienen en cuenta la probabilidad de ganar en cada transacción y la relación de ganancia a pérdida.

Es importante tener en cuenta que las paradas para el cálculo se tomaron fijas y la probabilidad de recibir un acuerdo ganador no cambió a tiempo, aunque en realidad esto, por supuesto, no es así.

Fórmula de cálculo

Daré la fórmula más simple para calcular la probabilidad de ruina:

Donde q es la probabilidad de "falla", la pérdida de la cual en cada prueba individual es -1;

p es la probabilidad de "éxito", el beneficio del cual en cada prueba individual es +1.

Q (z = 0) es la probabilidad de ruina cuando el capital inicial (z) se convierte en 0. Entonces P (w) = 1 - Q (z = 0) es la probabilidad de alcanzar la meta (aumento del capital inicial (z) a cantidades w).

Como puede ver, no tiene en cuenta la magnitud de las ganancias y pérdidas. Es decir, dicha fórmula solo se puede aplicar a sistemas en los que las ganancias siempre son iguales a las pérdidas.

Veamos un ejemplo. Tenemos 100 dólares, y nuestro sistema ofrece el 45% de las operaciones rentables. Entonces q = 0.55 y p = 0.45. Queremos averiguar con qué probabilidad podemos lograr una ganancia del 100% o una ganancia de $ 100 con este sistema.

Q = ((0.55 / 0.45) ^ 200 - (0.55 / 0.45) ^ 100) / ((0.55 / 0.45) ^ 200-1) = 99, (9)%, entonces Hay casi el 100%.

Y la probabilidad de éxito es P (w = 100) = 1 - Q (z = 0) = 0. La probabilidad de éxito cero significa un drenaje inequívoco del depósito incluso antes de que se logre un beneficio del 100%.

Sin embargo, resulta que si el objetivo es obtener una ganancia de solo un dólar, entonces la probabilidad de éxito en esto es:

P (w = 100) = 1 - Q (z = 0) = 0.818 o casi 82%.

En consecuencia, no importa cuán malo sea el sistema, cuanto mayor sea el capital inicial del operador, mayores serán las posibilidades de ganar una pequeña cantidad antes de quebrar. Incluso con la probabilidad desfavorable de éxito en cada intento individual, las posibilidades del comerciante de ganar una pequeña cantidad antes de quebrar pueden ser significativas. Y son cuanto más alto, mayor es el capital inicial.

En este sentido, es de interés una evaluación más detallada del cambio en la probabilidad de ruina dependiendo de un aumento gradual de la tasa en condiciones adversas (q> p). Omitiendo los cálculos matemáticos, observamos que si el capital inicial sigue siendo el mismo, un aumento gradual en la tasa reduce la probabilidad de la ruina del comerciante condenado. En consecuencia, la probabilidad de ruina para aquellos a quienes el éxito está asegurado por las expectativas matemáticas aumenta.

Esto también se puede formular de la siguiente manera: en un juego repetido con una apuesta constante, la probabilidad de ruina será mínima al elegir una apuesta que sea compatible con la cantidad de la ganancia deseada.

Por ejemplo, tenemos z = $ 90, y queremos obtener w = 100 para las mismas probabilidades q y p.

Q = ((0.55 / 0.45) ^ 100 - (0.55 / 0.45) ^ 90) / ((0.55 / 0.45) ^ 100-1) = 0.866 o 87% de probabilidad de perder el depósito.

Pero si aumenta la oferta al valor máximo posible (en este ejemplo, necesitamos $ 10 y z = 9, w = 10), un pronóstico tan desfavorable puede cambiar drásticamente.

Q = ((0.55 / 0.45) ^ 10 - (0.55 / 0.45) ^ 9) / ((0.55 / 0.45) ^ 10-1) = 0.21

Y aunque la expectativa matemática de ganar sigue siendo la misma, la probabilidad de ruina será de solo 0.21, y la ganancia aumentará a 0.79.

Como puede ver, a pesar de las relaciones desfavorables de pyq, el comerciante condenado tiene muchas posibilidades de salir victorioso en uno de los intentos. Por supuesto, esta victoria solo se puede salvar cuando el operador tiene la oportunidad de retirarse del comercio con sus ganancias.

Se obtiene una fórmula aún más simple para las pruebas con una moneda ideal, cuando p = q = 50%:

Q (-z) = 1 - (z / w),

donde (w - z)> 0 es la ganancia "limpia".

Entonces la probabilidad de tal resultado:

P (z) = 1 - Q (-z) = z / w.

Si estudiamos la dependencia de la función Q (z / w) en la relación de las variables zyw y construimos un gráfico, encontramos lo siguiente:

Para un valor constante dado de z (z = const), la probabilidad de ruina disminuye a medida que el valor de w cambia hacia la aproximación de z. Y la probabilidad de ruina alcanza su mínimo cuando w y z se vuelven comparables (z - w).

Cuando p = q, la probabilidad de la ruina Q se vuelve mínima, y ​​la recompensa P se vuelve máxima en dos condiciones. Este es el objetivo mínimo ganador y la apuesta máxima.

Por ejemplo, si apuesta 0.1 z, obtenemos w = z + 0.1z y Q (-z) = 0.09, y la probabilidad de ganar es del 91%.

Veamos otro ejemplo. Deje que el jugador tenga un capital inicial de $ 3000. La apuesta (stoploss = takeprofit) para cada juego es de $ 300. Entonces tenemos las condiciones: z = 3000 yw = 3300. Pero dado que la cantidad de $ 300 se usa como la "unidad convencional", en la escala del cálculo usado anteriormente, esto significa que z = 10 yw = z + 0.1z = 11 Y llegamos a las condiciones y soluciones del ejemplo anterior, donde: Q (-z) = 0.09 y P (w) = 0.91.

Veamos ahora un ejemplo con la instalación de un bot-monkey en la cuenta. Creo que todos están más interesados ​​en este ejemplo en particular. Tenemos $ 1000 y pondremos a un experto en un depósito con cien dólares. Nuestra tarea principal es retirar el primer 100% de las ganancias, luego de lo cual estaremos solos en caso de una descarga adicional. En este caso, z = 100% (nuestros 1,000) yw = 110%, necesitamos obtener una ganancia del 10% del depósito inicial. Entonces podemos escribir esto: z = 10, w = 11. Supongamos que no conocemos el futuro y asumiremos que con el mismo éxito podemos perder nuestra apuesta de $ 100 y ganar el 100%. Es decir, en promedio, en la mitad de los casos fusionaremos nuestras cuentas. Entonces:

Q (-z) = 1 - (z / w) = 1 - 10/11 = 0.09, o una probabilidad del 9% de perder dinero. Al mismo tiempo, la posibilidad de tener $ 1,000 disponibles y una ganancia de $ 100 es del 91%.

Si en al menos el 60% de los casos no perdemos nuestros cien, lo que significa que recibimos todo el depósito de seguridad y tenemos un bot con cien que ya no sentimos lamentar perder, entonces la probabilidad será mucho mayor:

Q = ((0.4 / 0.6) ^ 11 - (0.4 / 0.6) ^ 10) / ((0.4 / 0.6) ^ 11-1) = (0.01156 - 0.01734 ) / (0.01156 - 1) = 0.00585, o 0.6% de riesgo de ruina. Entonces la probabilidad de obtener ganancias será del 99,4%.

Para comprender mejor este enfoque, tomemos ahora un capital inicial de $ 400 y p = q = 0.5. Entonces z = 3 yw = 4:

Q (-z) = 1 - (z / w) = 1 - (3/4) = ¼ = 0.25, o 25% de probabilidad de perder todos los fondos antes de que podamos retirar cien. Después de eso, con una probabilidad del 75%, tendremos nuestros $ 400 nuevamente y $ 100 trabajarán en un depósito con un mono. ¿Qué sigue? Luego, simplemente puede tomar ganancias de esta cuenta y no preocuparse por el hecho de que la cuenta se fusionará. De hecho, en este caso, permanecerá con los suyos y simplemente repetirá el ciclo con un capital inicial de $ 400.

Expectativa matemática

Como puede ver, con una relación desfavorable p

En este sentido, surge la pregunta de cuál es la expectativa matemática del resultado, es decir, la ganancia promedio durante una repetición larga del juego, en condiciones de una relación desfavorable p <q y una relación favorable Q (-z) <P (w).

Como se desprende de las condiciones, el resultado final del juego (“victoria” w o “derrota” z = 0) es una variable aleatoria que toma uno de dos valores: (w-z) o (-z).

Luego, la expectativa matemática de una ganancia M para cualquiera, incluida la relación igual de q y p:

M = P (w) * (w - z) - Q (z = 0) * (-z) = w x P (w) - z.

Y para q = p:

M = w * (1-Q (z = 0)) - z.

Si sustituimos los valores de Q (z = 0) en estas fórmulas, obtenemos:

M (para q> p) <0

y

M (q = p) = w X {1 - Q (z = 0)} - z = w X (z / w) - z = 0.

Conocer estos cálculos le permite elegir el "menos malvado". Por lo tanto, se debe tener en cuenta la siguiente regla importante: si el comerciante se encuentra en condiciones adversas p <q y establece la tarea para finalizar después de ganar la suma w o perder la suma máxima permitida z, entonces no hay relaciones Q (-z) <P (w ) no cambiará la expectativa matemática negativa del resultado.

Por lo tanto, ninguna manipulación con las variables indicadas permite contar con un valor positivo de la expectativa matemática. Peor aún, incluso cero es inalcanzable.

Por lo tanto, el orden de aplicación de una forma racional de manejar el caso puede ser el siguiente: para una relación dada p y q, se calcula una variante específica de la relación de los valores de w y z, en la cual se alcanza la expectativa máxima ("menos mal"). Para p y q dados, vale la pena elegir las razones de las variables w y z que proporcionan la mejor expectativa matemática. Sin embargo, recordamos que estamos hablando de la expectativa matemática del resultado bajo la condición de un número infinito de pruebas.

En este sentido, es útil considerar las estimaciones de la duración promedio de un juego en el que, según la teoría de la probabilidad, se pueden lograr objetivos predeterminados. Y este parámetro de duración también debe tenerse en cuenta en el proceso de gestión.

Duración media

Presentamos sin derivación las fórmulas básicas para estimar la duración promedio de un juego para diferentes proporciones de py q.

Para el caso en que q no es igual a p (p> q o p

Volvamos al ejemplo anterior, en el que hay una posición de un juego "desventajoso" con q = 0.55 y p = 0.45 (z = 90, w = 100 "unidades convencionales"). Ya hemos visto que si durante cada prueba la tasa es igual a una "unidad convencional", entonces la probabilidad de ruina es Q (z) = 0.866. Entonces la probabilidad de ganar es P (z) = 0.134.

De acuerdo con la fórmula para calcular la duración promedio del juego, obtenemos que su expectativa matemática será:

D (z / w) = 767 pruebas.

Sin embargo, si aumenta la oferta al máximo, por lo que es igual a 10 "unidades convencionales", obtendremos:

Q (z) = 0.210, y P (z) = 0.790.

Y la expectativa matemática de la duración del juego:

D (z / w) = 11 ensayos.

La regla correspondiente se puede formular de la siguiente manera: cuanto menor sea la expectativa matemática de la duración del juego, mayor será la probabilidad de ganar con la relación "desfavorable" q> p cada vez más favorable.

Cuanto más corta sea la duración esperada del juego "desventajoso", mejor. Este cálculo cumple con la ley de los grandes números: cuanto mayor sea el número de pruebas, más se acercarán los resultados a la expectativa matemática de la probabilidad de "éxito".

Para q = p, otra fórmula es válida, que tiene la forma:

D (z / w) = z x (w-z).

Inmediatamente, notamos que la duración promedio del juego es mucho mayor de lo que nos dice el "sentido común".

Entonces, si q = p, entonces con el capital inicial z = 90 unidades convencionales y el deseo del jugador de llevar esta cantidad a w = 100:

D (z = 90 / w = 100) = 90 x 10 = 900.

Tenga en cuenta que a una tasa de 10 "unidades convencionales" la probabilidad de "éxito" es muy alta:

P (z = 90 / w = 100) = 90/100 = 0.9.

Sin embargo, tomará mucho tiempo obtener uno u otro resultado (ruina o ganancia "limpia" de 10 unidades).

Incluso si un jugador plantea una tarea tan modesta como la "victoria final" de una sola "unidad convencional" (w = z + 1), entonces la duración del juego con una capital de z = 90:

D (z = 90 / w = 91) = 90 x 1 = 90.

Además, la probabilidad de "éxito" es extremadamente favorable:

P (z = 90 / w = 91) = 90/91 = 0.99.

Prestemos atención al hecho de que, a pesar de la alta probabilidad de ganar, hay una larga lucha (en promedio 90 intentos). Y esto es para recibir una ganancia igual a solo una unidad de capital.

Sin embargo, es reconfortante que la "unidad convencional" de capital pueda ser una cantidad significativa de dinero "vivo". Es cierto, entonces tendrá que usar el capital inicial, que es 90 veces más que la ganancia.

Como puede ver, es imposible establecer de antemano el camino más "rentable": mucho depende de diferentes circunstancias.

Volvamos al ejemplo anterior, pero como una "unidad convencional" tomamos $ 300.

Luego, la variable aleatoria D (w / z), teniendo en cuenta la nueva "unidad", se calcula mediante la fórmula:

D (w / z) = (z / 300) x (w - z) / 300.

Considere la duración esperada del juego, dependiendo de los objetivos que establezca el comerciante.

Si quieres ganar $ 300, es decir 10% del capital inicial, obtenemos las siguientes estimaciones:

- probabilidad de ganar:

P (z = 3000 / w = 3300) = z / w = 3000/3300 = 10/11 = 0.91;

- duración del juego:

D (w = 3300 / z = 3000) = (z / 300) x (w - z) / 300 = 10.

Compare este resultado con otras condiciones.

Si el objetivo es aumentar el capital en un 20% a la misma tasa de $ 300 en cada juego:

- probabilidad de ganar:

P (z = 3000 / w = 3600) = 10/12 = 0,83;

- duración del juego:

D (w = 3600 / z = 3000) = 20.

Para doble "enriquecimiento" en las mismas condiciones:

- probabilidad de ganar:

P (z = 3000 / w = 6000) = z / w = 0.5;

- duración del juego:

D (w = 6000 / z = 3000) = 200.

Por lo tanto, los cálculos anteriores confirman nuevamente las estimaciones obtenidas anteriormente: cuanto más grandes son las metas, menos probable es que se logren.

En este caso, la duración del juego aumenta más rápido de lo que se supone intuitivamente. En el ejemplo anterior, se puede ver que aumentar el tamaño del objetivo del 20 al 100% (cinco veces) aumenta la duración promedio del juego de 20 a 200 pruebas (diez veces).

Aumentar el objetivo de ganancias, si todo lo demás es igual, conduce a una disminución en la probabilidad de ganar y a un aumento desproporcionadamente grande en la duración del juego.

Y finalmente, calculemos la duración esperada de nuestro ejemplo con los bots monos instalados en las cuentas.Entonces, tenemos $ 400 del depósito inicial y depositamos $ 100 cada vez en la cuenta. La probabilidad de perder todo el dinero es bastante alta: Q (-z) = 1 - (z / w) = 1 - (3/4) = ¼ = 0.25. D = 3 / (4-3) = 3, es decir, en promedio, se logrará un resultado similar para 3 apuestas.

Principales conclusiones (para aquellos que son demasiado flojos para leer fórmulas y cálculos)

La probabilidad de ruina no es tan necesaria para los comerciantes que operan utilizando sistemas clásicos de administración de dinero. Si un comerciante calcula el riesgo de ruina, puede determinar si está tomando demasiado riesgo en este momento, y también si tiene muy poco capital para comenzar a operar bajo el nuevo sistema.

El beneficio más significativo de este conocimiento lo pueden obtener los comerciantes que comercian con la ayuda de sistemas y asesores peligrosos. Consiste en el hecho de que puede calcular el riesgo de ruina durante una serie de lanzamientos de asesores peligrosos, el beneficio esperado de esto, el número de intentos en la serie y la probabilidad de quebrar. Por supuesto, no le recomiendo que se apresure a instalar asesores peligrosos en sus cuentas, pero si ya lo está haciendo, le sugiero que utilice un enfoque más científico que jugar en un casino.

Sin profundizar en las fórmulas anteriores, me gustaría decir algunas palabras simples sobre los beneficios de calcular la probabilidad de ruina.

  • Entonces, tener $ 1,000 y un asesor peligroso que al menos en la mitad de los casos no agota su depósito, pero le permite retirar su primera ganancia al 100% y al mismo tiempo arriesgar $ 100 a la vez, pagará su inversión con una probabilidad del 91%. Si su asesor a menudo le permite ganar dinero, la probabilidad aumenta a casi el 100%.
  • Si solo tiene 400 dólares en existencias, y el asesor requiere al menos 100 a la vez, mientras que el saldo aún es de 50 a 50, se quedará sin su dinero con una probabilidad del 25%. Al mismo tiempo, si repite este procedimiento muchas veces, en promedio, cada uno obtendrá un plus después del tercer intento (es decir, la primera vez que pierde 100 y 300 permanecen, la segunda vez que gana 100 y permanece con los suyos, la tercera vez que todo salió bien y todo lo que tiene en sus manos, más $ 100 en la cuenta con el asesor).

Conclusión

Si no se opone a varios cálculos matemáticos, simplemente puede calcular una estrategia para administrar dinero para asesores peligrosos: capital inicial, número promedio de intentos y la expectativa matemática de su estrategia. Si las fórmulas te aburren, solo usa los cálculos que se dieron en este artículo como ejemplos. Todos estos datos y cálculos conducen a una regla muy simple: para lanzar de forma segura un bot peligroso, debe tener un capital inicial 10 veces el depósito requerido por un asesor. Esto nos permitirá casi garantizar la recuperación de nuestras inversiones y, posiblemente, comenzar a obtener ganancias.

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